Discriminant (Module)

Let a Module $M$ in an Integral Domain $D_1$ for $R(\sqrt{D}\,)$ be expressed using a two-element basis as

$$M=[\xi_1, \xi_2],$$

where $\xi_1$ and $\xi_2$ are in $D_1$. Then the Different of the Module is defined as

$$\Delta=\Delta(M)=\left\vert\matrix{\xi_1 & \xi_2\cr \xi_1' & \xi_2'\cr}\right\vert = \xi_1\xi_2'-\xi_1'\xi_2$$

and the discriminant is defined as the square of the Different (Cohn 1980).

For Imaginary Quadratic Fields $\Bbb{Q}(\sqrt{n}\,)$ (with $n<0$), the discriminants are given in the following table.

$-1$	$-2^2$	$-33$	$-2^2\cdot 3\cdot 11$	$-67$	$-67$
$-2$	$-2^3$	$-34$	$-2^3\cdot 17$	$-69$	$-2^2\cdot 3\cdot 23$
$-3$	$-3$	$-35$	$-5\cdot 7$	$-70$	$-2^3\cdot 5\cdot 7$
$-5$	$-2^2\cdot 5$	$-37$	$-2^2\cdot 37$	$-71$	$-71$
$-6$	$-2^3\cdot 3$	$-39$	$-3\cdot 13$	$-73$	$-2^2\cdot 73$
$-7$	$-7$	$-41$	$-2^2\cdot 41$	$-74$	$-2^3\cdot 37$
$-10$	$-2^3\cdot 5$	$-42$	$-2^3\cdot 3\cdot 7$	$-77$	$-2^2\cdot 7\cdot 11$
$-11$	$-11$	$-43$	$-43$	$-78$	$-2^3\cdot 3\cdot 13$
$-13$	$-2^2\cdot 13$	$-46$	$-2^3\cdot 23$	$-79$	$-79$
$-14$	$-2^3\cdot 7$	$-47$	$-47$	$-82$	$-2^3\cdot 41$
$-15$	$-3\cdot 5$	$-51$	$-3\cdot 17$	$-83$	$-83$
$-17$	$-2^2\cdot 17$	$-53$	$-2^2\cdot 53$	$-85$	$-2^2\cdot 5\cdot 17$
$-19$	$-19$	$-55$	$-5\cdot 11$	$-86$	$-2^3\cdot 43$
$-21$	$-2^2\cdot 3\cdot 7$	$-57$	$-2^2\cdot 3\cdot 19$	$-87$	$-3\cdot 29$
$-22$	$-2^3\cdot 11$	$-58$	$-2^3\cdot 29$	$-89$	$-2^2\cdot 89$
$-23$	$-23$	$-59$	$-59$	$-91$	$-7\cdot 13$
$-26$	$-2^3\cdot 13$	$-61$	$-2^2\cdot 61$	$-93$	$-2^2\cdot 3\cdot 31$
$-29$	$-2^2\cdot 29$	$-62$	$-2^3\cdot 31$	$-94$	$-2^3\cdot 47$
$-30$	$-2^3\cdot 3\cdot 5$	$-65$	$-2^2\cdot 5\cdot 13$	$-95$	$-5\cdot 19$
$-31$	$-31$	$-66$	$-2^3\cdot 3\cdot 11$	$-97$	$-2^2\cdot 97$

The discriminants of Real Quadratic Fields $\Bbb{Q}(\sqrt{n}\,)$ ($n>0$) are given in the following table.

2	$2^3$	34	$2^3\cdot 17$	67	$67\cdot 2^2$
3	$3\cdot 2^2$	35	$7\cdot 2^2\cdot 5$	69	$3\cdot 23$
5	5	37	37	70	$7\cdot 2^3\cdot 5$
6	$3\cdot 2^3$	38	$19\cdot 2^3$	71	$71\cdot 2^2$
7	$7\cdot 2^2$	39	$3\cdot 2^2\cdot 13$	73	73
10	$2^3\cdot 5$	41	41	74	$2^3\cdot 37$
11	$11\cdot 2^2$	42	$3\cdot 2^3\cdot 7$	77	$7\cdot 11$
13	13	43	$43\cdot 2^2$	78	$3\cdot 2^3\cdot 13$
14	$7\cdot 2^3$	46	$23\cdot 2^3$	79	$79\cdot 2^2$
15	$3\cdot 2^2\cdot 5$	47	$47\cdot 2^2$	82	$2^3\cdot 41$
17	17	51	$3\cdot 2^2\cdot 17$	83	$83\cdot 2^2$
19	$19\cdot 2^2$	53	53	85	$5\cdot 17$
21	$3\cdot 7$	55	$11\cdot 2^2\cdot 5$	86	$43\cdot 2^3$
22	$11\cdot 2^3$	57	$3\cdot 19$	87	$3\cdot 2^2\cdot 13$
23	$23\cdot 2^2$	58	$2^3\cdot 29$	89	89
26	$2^3\cdot 13$	59	$59\cdot 2^2$	91	$7\cdot 2^2\cdot 13$
29	29	61	61	93	$3\cdot 31$
30	$3\cdot 2^3\cdot 5$	62	$31\cdot 2^3$	94	$47\cdot 2^3$
31	$31\cdot 2^2$	65	$5\cdot 13$	95	$19\cdot 2^2\cdot 5$
33	$3\cdot 11$	66	$3\cdot 2^3\cdot 11$	97	97

See also Different, Fundamental Discriminant, Module

References

Cohn, H. Advanced Number Theory. New York: Dover, pp. 72-73 and 261-274, 1980.