§3  代数方程的特殊解法

阿贝耳证明了五次及更高次的一般方程没有代数解法.可是阿贝耳定理并没有回答这个问题：每个给定的具体方程有没有代数解法.伽罗瓦证明了：存在用代数方法不能解的具体整系数代数方程.例如

x⁵－x+1=0

伽罗瓦还找出方程能用根式求解的充分必要条件.

1.求有理根

根据上一节中“整根与有理根”的性质，可以求某些具体方程的有理根.

例 求方程的有理根.

解 因为该方程的有理根的p和q都是2的约数，所以它们是1，－1，2和－2.因此的可能值为1，－1，2和－2.用综合除法(见§2，一)

检验：

           1) 2   －3    2     2            －1) 2  －3      2     2

                   2   －1    1                    －2     5    －7

             2    －1   1     3                2   －5     7    －5

 2   －3    2     2            2   －3     2     2

                   1   －1    －1     2    －2

             2    －2   1                   2   －4     4     0

所以为已知方程的一个有理根.

原式除以,得商式

即

塔顶判别式4－8<0，它的两个根是一对共轭复根.因此原方程只有一个有理根.

2.解三项方程

形如

au²ⁿ+buⁿ+c=0

的方程称为三项方程，其中a,b,c,n都不等于零,n为整数.它可用根式解.令uⁿ=x，得二次方程ax²+bx+c=0.

例 解方程

解 令,则得，它的根是和.从得.所以.代入原方程检验，可知这四个数是方程的根.

3.解倒数方程

形如

axⁿ+bx^n－1+cx^n－2+L+cx²+bx+a=0

（其中x^n-k和x^k项的系数相同）的方程称为倒数方程.倒数方程的任一根不等于零.

1° 偶数次(n=2k)倒数方程两边除以x^k，再令z=x+，则原方程可化为z的k次方程，解此方程，得z的值，然后对应的x值可由二次方程

x²－zx+1=0

求出.

       2° 解奇数次(n=2k+1)倒数方程归结为解偶数次倒数方程.

例 解方程

解 为原方程的一个根，把方程除以,得4次倒数方程：

把它除以,然后并项，得

令,则,从而上式变为

由此得.因而有确定的两个方程：

和

由此得

4.解二项方程

形如 xⁿ－A=0

的方程称为二项方程.它的n个根就是复数A的n次方根.

如果把A写为

A=r(cosθ+isinθ)

则方程xⁿ－A=0的n个根是

         (k=0,1,2,L,n－1)

几何说明：复平面上与数r(cosθ+isinθ)的n次方根对应的点是一个正n边形的顶点，这些顶点在以原点为中心，以为半径的圆上.而这个n边形的顶点之一有辐角.图3.1表示n=6的情形.

若A=1，则xⁿ=1的解ξ称为n次单位根.n个n次单位根为

cos+isin (k=0,1,2,L,n－1)             图 3.1

如果ξ是其中一个n次单位根，那末n个n次单位根是1, ξ,ξ²,L,ξ^n－1，它们在几何上表示为单位圆的一个内接正n边形的顶点.