§4  积分方程的近似解法

    [对Fr方程的线性代数方程组的逼近法]  Fr方程

                                          （1）

可按形式

                                （2）

来逼近，其中x_k(k=1,2,…,n)是区间[a,b]上n个适当选定的求积节点，常数ω_k是对应的求积系数。如果要求在每点x_k(k=1,2,…,n)处，（2）式两边相等，则得到关于n个未知函数y(x₁),y(x₂),…y(x_n)的n个线性方程：

                       （3）

式中y(x_i)(i=1,2,…n)为未知函数y(x)分别在n个点x_i(i=1,2,…n)处指定的近似值。

若令

（3）可改写为

         (i=1,2,…n)

写成矩阵形式为

y=F+λKW_y

或                                                 Ay=F                                （4）

式中A=I-λKW,I为n阶单位矩阵，K=（K_ij），W为对角线矩阵

W=éw ₁,w ₂,L,w_nû ,y=(y₁,y₂,L,y_n)^t,F=(F₁,F₂,L,F_n)^t

   例 解第二类Fr方程

解   1°  在这个特例中，积分方程可化为具端点条件y(0)=0,y(1)=1的微分方程

其精确解为   

         2°  用逼近法来求近似解。取n=5个等距节点：

可以算出矩阵K 为

如果采用梯形法求积，那么求积系数的对角线矩阵W为

W= ^é_û

由于l=1，则

而                               

解线性方程组，计算到小数点后四位得到

y₁=0,  y₂=0.2943,  y₃=0.5702,  y₄=0.8104,  y₅=1

与精确解y(x)在点x=0,和1的值

y₁=0,  y₂=0.2940,  y₃=0.5697,  y₄=0.8100,  y₅=1

进行比较，可以看到误差程度。

上述方法显然可以用来求第一类Fr方程的近似解，以及处理特征值的问题。

应当指出，当核K(x,x)不是以分析表达式给定，而由实验数据确定时，上述方法特别有用。

[待定系数逼近法]  为了求积分方程

                                   （1）

的解，可适当选择n个函数，用它们的线性组合来逼近

                                

其中n个系数a_k（k=1，2，Ln）可以这样决定：使这个线性组合尽可能近似地满足（1），即

   （a≤x≤b）

令

上式变成

       （a≤x≤b）        （2）

待定系数a₁,a₂,L,a_n可由n个条件决定，方法如下：

    1°  配置法  令

      （a≤x ≤b）         （3）

为决定这n个常数a₁,a₂,L,a_n，在区间[a,b]上适当选择a≤x₁<x₂<L<x_n≤b(x_i称为配置点)，使

                             （i=1,2,Ln）

其矩阵形式为

                                  ya =F                                          (4)

式中y =(ψ_ij)=(ψ_j(x_i)),F=(F(x₁),F(x₂),LF(x_n))^τ为已知量，

                          a =（a₁,a₂,L,a_n）^t

为 未 知 量。解 线性方程组（4）便得到所求的系数a₁,a₂,L,a_n。

2°权函数法  设w₁(x),w₂(x),L,w_n(x)为区间[a,b]上n个线性无关的函数（称为权函数）。为决定系数a₁,a₂,L,a_n，可以要求（3）式两边之差

与这n个权函数正交，即使得

    (i=1,2,…n)

其矩阵形式为

                   Aa =b                                         (5)

式中            

为已知量，

                         a =（a ₁,a ₂,L,a _n）^t

为未知量。解线性方程组（5）便得到所求的系数a ₁,a ₂,L,a _n。

通常选取权函数w _i(x)与近似函数j _i(x)恒等比较方便，一般都取为

1,x,x²,L,x^n-1

[核的逼近法]  §1指出Fr方程的核可用x和ξ的一个多项式或一个更一般形式的可分离核来逼近，并用那里的方法来解所得的近似方程。

例  积分方程

                                         (1)

中的核

可用多项式A₁+A₂x+A₃x²或更适当的形式x(1-x)(B₁+B₂x+B₃x²)来逼近，其中A,B为包含ξ的参数，采用权函数或配置点可决定A与B。

    首先取一个粗糙的逼近形式

它在端点x=0和x=1是精确的，为决定系数B，可要求在[0,1]上核的积分等于它的近似表达式的积分，即

直接计算得

B=3ξ(1-ξ)

并把对应的近似核代入(1)导出近似积分方程

                                                        (2)

令

(2)式化为                        

                                   y(x)=x+3cx(1-x)                             (3)

为了决定c，以x(1-x)乘上式的两边，并在[0,1]上积分，得

从此算出,代入(3)得到方程(1)的近似解

更一般地，如果取近似核为

则类似地可得方程(1)的近似解

）