§2 场论初步
一、场论的基本概念及梯度、散度与旋度
[标量场] 空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个数量值
(x,y,z)，它在此空间区域D上就构成一个标量场，用点M(x,y,z)的标函数
(x，y，z)表示.若M的位置用矢径r确定，则标量
可以看作变矢r的函数
＝
(r).
例如温度场u(x,y,z),密度场
,电位场e(x,y,z)都是标量场.
[矢量场] 空间区域D的每点M(x，y，z)对应一个矢量值r(x，y，z)，它在此空间区域D上就构成一个矢量场，用点M(x，y，z)的矢量函数r(x，y，z)表示.若M的位置用矢径r确定，则矢量r可以看作变矢r的矢函数r(r)：
R(r)＝X(x，y，z)i＋Y(x，y，z)j＋Z(x，y，z)k
例如流速场 
(x，y，z)，电场E(x，y，z)，磁场H(x，y，z)都是矢量场.
与标量场的情况一样，矢量场概念与矢函数概念，实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义.
[梯度]
grad
＝(
，
，
)=
=
i＋
j＋
k
式中
=i
＋j
＋k
称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.grad
有的书刊中记作del
.
grad
的方向与过点(x，y，z)的等量面
＝C的法线方向N重合，并指向
增加的一方，是函数
变化率最大的方向，它的长度等于
.
梯度具有性质：
grad(
＋
)＝
grad
＋
grad
(
、
为常数)
grad(
)＝
grad
＋
grad
gradF(
)＝
[方向导数]
＝l·grad
＝
cos
＋
cos
＋
cos
式中l＝(cos
,cos
,cos
)为方向l的单位矢量,
,
,
为其方向角.
方向导数为
在方向l上的变化律，它等于梯度在方向l上的投影.
[散度]
divr＝
＋
＋
=
·r=div(X , Y , Z)
式中
为哈密顿算子.
散度具有性质：
div(
a＋
b)＝
diva＋
divb (
、
为常数)
div(
a)＝
div
a＋a grad
div(a×b)＝b·rot a－a·rotb
[旋度]
rotr＝(
)i＋(
)j＋(
)k=
×r=
式中
为哈密顿算子，旋度也称涡度，rot r有的书刊中记作curl r.
旋度具有性质：
rot(
a＋
b)＝
rot a＋
rot
b (
、
为常数)
rot(
a)＝
rot
a＋a×grad
rot(a×b)＝(b·
)a－(a·
)b＋(div b)a－(div
a)b
[梯度、散度、旋度混合运算] 运算grad作用到一个标量场
产生矢量场grad
，运算div作用到一个矢量场 r产生标量场div r，运算rot作用到一个矢量场r产生新的矢量场
rot r.这三种运算的混合运算公式如下：
div rot r＝０
rot grad
＝０
div grad
＝
＋
＋
=
grad div r＝
(
r)
rot rot r＝
×(
×r)
div grad(
+
)=
div grad
+
div
grad
(
、
为常数)
div grad(
)=
div
grad
＋
div
grad 
＋２grad
·grad
grad div r－rot rot r＝
r
式中 
为哈密顿算子，
＝
·
＝
２为拉普拉斯算子.
[势量场(守恒场)] 若矢量场r(x，y，z)是某一标函数
(x，y，z)的梯度，即
r＝grad
或 X＝
，Y＝
，Z＝
则r称为势量场，标函数
称为r的势函数.
矢量场r为势量场的充分必要条件是：rot r＝０，或
=
,
=
,
=
势函数计算公式
(x，y，z)＝
(x0，y0，z0)＋
＋
＋
[无散场(管形场)] 若矢量场r的散度为零，即div r＝0，则r称为无散场.这时必存在一个无散场T，使r＝rot T，对任意点M有
T＝
式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.
[无旋场] 若矢量场r的旋度为零，即rot r＝0，则r称为无旋场.势量场总是一个无旋场，这时必存在一个标函数
，使r＝grad
，而对任意点M有
＝－
式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.