5. 实数进位制

[进位制的基与数字] 任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如

一般地，任一正数a可表为

这就是10进数，记作a₍₁₀₎，数10称为进位制的基，式中a_i在{0,1,2,L,9}中取值，称为10进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基，于是就得到q进数表示

(1)

式中数字a_i在{0,1,2,L,q-1}中取值，a_na_n-1La₁a₀称为q进数a_(q)的整数部分，记作[a_(q)];

a_-1a_-2L称为a_(q)的分数部分，记作{a_(q)}.常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下

2进制 0, 1

8进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

16进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

[2，8，16进制的加法与乘法表]

2进制加法表			2进制乘法表
+	0	1		0	1
0	0	1	0	0	0
1	1	10	1	0	1

8进制加法表

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	00	01	02	03	04	05	06	07
1	01	02	03	04	05	06	07	10
2	02	03	04	05	06	07	10	11
3	03	04	05	06	07	10	11	12
4	04	05	06	07	10	11	12	13
5	05	06	07	10	11	12	13	14
6	06	07	10	11	12	13	14	15
7	07	10	11	12	13	14	15	16

8进制乘法表

	0	1	2	3	4	5	6	7
0	00	00	00	00	00	00	00	00
1	00	01	02	03	04	05	06	07
2	00	02	04	06	10	12	14	16
3	00	03	06	11	14	17	22	25
4	00	04	10	14	20	24	30	34
5	00	05	12	17	24	31	36	43
6	00	06	14	22	30	36	44	52
7	00	07	16	25	34	43	52	61

16进制加法表

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09
1	01	02	03	04	05	06	07	08	09		0					10
2	02	03	04	05	06	07	08	09							10	11
3	03	04	05	06	07	08	09							10	11	12
4	04	05	06	07	08	09							10	11	12	13

16进制加法表

5	05	06	07	08	09							10	11	12	13	14
6	06	07	08	09							10	11	12	13	14	15
7	07	08	09							10	11	12	13	14	15	16
8	08	09							10	11	12	13	14	15	16	17
9	09							10	11	12	13	14	15	16	17	18
							10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
						10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
					10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
				10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
			10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
		10	11	12	13	14	15	16	17	18	19

16进制乘法表

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00
1	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09
2	00	02	04	06	08				10	12	14	16	18
3	00	03	06	09			12	15	18			21	24	27
4	00	04	08		10	14	18		20	24	28		30	34	38
5	00	05			14	19		23	28		32	37		41	46
6	00	06		12	18		24		30	36		42	48		54
7	00	07		15		23		31	38		46		54		62	69
8	00	08	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	00	09	12		24		36		48	51		63		75		87
	00		14		28	32		46	50		64		78	82		96
	00		16	21		37	42		58	63		79	84
	00		18	24	30		48	54	60		78	84	90
	00			27	34	41			68	75	82
	00				38	46	54	62	70
	00							69	78	87	96

[8-2，16-2数字转换表]

8进数	0	1	2	3	4	5	6	7
2进数	000	001	010	011	100	101	110	111
16进数	0	1	2	3	4	5	6	7
2进数	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
16进数	8	9
2进数	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

[各种进位制的相互转换]

1^° q→10转换 适用通常的10进数四则运算规则，根据公式(1)，可以把q进数a_(q)转换为10进数表示.例如

2^° 10→q转换 转换时必须分为整数部分和分数部分进行.

对于整数部分其步骤是：

(1) 用q去除[a₍₁₀₎]，得到商和余数.

(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.

(3) 用商替换[a₍₁₀₎]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.

对于分数部分其步骤是：

(1)用q去乘{a₍₁₀₎}.

(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.

(3)用乘积的分数部分替换{a₍₁₀₎}的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：

103.118₍₁₀₎=147.074324L₍₈₎

整数部分的草式	分数部分的草式

3^° p→q转换 通常情况下其步骤是：a_(p)→a₍₁₀₎→a_(q).如果p,q是同一数s的不同次幂，其步骤是：a_(p)→a_(s)→a_(q).例如，8进数127.653₍₈₎转换为16进数时，由于8=2³，16=2⁴，所以s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)

127.653₍₈₎=001 010 111.110 101 011₍₂₎

然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即